Đưa về phương trình chính tắc và vẽ elip trong hệ trục tọa độ $Oxy$

Với code $\rm \LaTeX$ dưới đây, các bạn chỉ cần nhập vào phương trình tổng quát của đường bậc hai, cụ thể $$36x^2+24xy+29y^2-72x+126y+81=0$$ $\rm LaTeX$ sẽ xuất ra các hệ số của phương trình đường bậc hai. Dựa vào các hệ số $a, b, c, d, e ,f$ máy tính sẽ đưa phương trình đường bậc hai về dạng chính tắc và vẽ conic được tạo thành trong hệ trục tọa độ $Oxy$.
Ban đầu ta cấu hình Quick Build là $\rm pdf\LaTeX$, trong khi biên dịch máy sẽ báo lỗi về pstricks (kệ nó). Sau khi biên dịch xong bằng pdflatex (chấp nhận lỗi pstricks), tiếp theo ta biên dịch bằng $\rm \LaTeX \rightarrow \ \text{dvips}\ \rightarrow \text{ps2pdf}$ sẽ có kết quả cuối cùng.

\documentclass[12pt]{article} \usepackage{fourier} \usepackage[utf8]{vietnam} \usepackage{times} \usepackage{moreverb} \newcommand{\executGiac}[1]{ \immediate\write18{giac <#1 } } \usepackage{pstricks-add} \begin{document} \begin{verbatimwrite}{test_elip.in} maple_mode(0); Sortie:=fopen("test_elip.out.tex"); zz:=36*x^2+24*x*y+29*y^2-72*x+126*y+81; Resultat:=cat("Cho đường bậc hai có phương trình:", "$$",latex(ans()),"=0$$"); dfx:=diff(zz,x); dfy:=diff(zz,y); Resultat:=cat(Resultat,"Các hệ số "," $ a, b, c, d, e, f",,"$"," là:"); Resultat:=cat(Resultat,""," $$",,"$$"); aa:=simplify(diff(diff(zz,x),x)/2); Resultat:=cat(Resultat,"","$ a = ",latex(ans())," $"); bb:=simplify(diff(diff(zz,x),y)/2); Resultat:=cat(Resultat," , ","$ b=",latex(ans()),"$"); cc:=simplify(diff(diff(zz,y),y)/2); Resultat:=cat(Resultat," , ","$ c=",latex(ans()),"$"); ww:=simplify(zz-aa*x^2-2*bb*x*y-cc*y^2); dd:=simplify(diff(ww,x)/2); Resultat:=cat(Resultat," , ","$ d =",latex(ans()),"$"); EE:=simplify(diff(ww,y)/2); Resultat:=cat(Resultat," , ","$ e =",latex(ans()),"$"); ff:=simplify(ww-2*dd*x-2*EE*y); Resultat:=cat(Resultat," , ","$ f =",latex(ans()),"$"); Resultat:=cat(Resultat,".","$$",,"$$"); J1:=aa+cc; Resultat:=cat(Resultat,"Bất biến thứ nhất : ","$$ I_1 =", latex(ans()),"$$"); J2:=aa*cc-bb^2; Resultat:=cat(Resultat,"Bất biến thứ hai : ","$$ I_2 =", latex(ans()),"$$"); J3:=det([aa,bb,dd],[bb,cc,EE],[dd,EE,ff]); Resultat:=cat(Resultat,"Bất biến thứ ba : ","$$ I_3 =", latex(ans()),"$$"); J2>0 and J3<0; Resultat:=cat(Resultat,"Đường bậc hai là elip: PHẢI (true), KHÔNG (false/0)\\qquad ($I_2>0$ và $I_3<0;$) ", "$$",latex(ans()),"$$"); ptdt:=t^2-J1*t+J2; Resultat:=cat(Resultat,"Phương trình đặc trưng: ", "$$",latex(ans()),"=0$$"); t1:=solve(ptdt,t)[0]; Resultat:=cat(Resultat,"Hai nghiệm của phương trình đặc trưng:\\ ", "$t_1=",latex(ans()),"$"); t2:=solve(ptdt,t)[1]; Resultat:=cat(Resultat," và "," $t_2=",latex(ans()),"$.\\ "); A:=simplify(-J3/(J2*t1)); round(evalf(sqrt(abs(A))),2); Resultat:=cat(Resultat,"\\def\\btl\{",ans(),"} "); B:=simplify(-J3/(J2*t2)); round(evalf(sqrt(abs(B))),2); Resultat:=cat(Resultat,"\\def\\btn\{",ans(),"} "); t1*X^2+t2*Y^2=-J3/J2; Resultat:=cat(Resultat,"Phương trình thu gọn của đường bậc hai là: ", "$$",latex(ans()),"$$"); X^2/A+Y^2/B=1; Resultat:=cat(Resultat,"Phương trình chính tắc của đường bậc hai là: ", "$$",latex(ans()),"$$"); linsolve([diff(zz,x)=0,diff(zz,y)=0],[x,y]); Resultat:=cat(Resultat,"Tọa độ của tâm:","$$",latex(ans()),"$$"); k1:=simplify((t1-aa)/bb); Resultat:=cat(Resultat,"Hai phương chính của $(S)$ là:","$$k_1=", latex(ans()),"$$"); evalf((t1-aa)/bb); Resultat:=cat(Resultat,"\\def\\slope\{",ans(),"} "); evalf((t2-aa)/bb); Resultat:=cat(Resultat,"\\def\\Slope\{",ans(),"} "); round(atan(k1)*180/3.14159,2); Resultat:=cat(Resultat,"\\def\\rotate\{",ans(),"} "); k2:=simplify((t2-aa)/bb); Resultat:=cat(Resultat,"và:","$$k_2=",latex(ans()),"$$"); hdt:=linsolve([diff(zz,x)=0,diff(zz,y)=0],[x,y])[0]; round(evalf(linsolve([diff(zz,x)=0,diff(zz,y)=0],[x,y])[0]),2); Resultat:=cat(Resultat,"\\def\\center\{",ans(),"} "); tdt:=linsolve([diff(zz,x)=0,diff(zz,y)=0],[x,y])[1]; round(evalf(linsolve([diff(zz,x)=0,diff(zz,y)=0],[x,y])[1]),2); Resultat:=cat(Resultat,"\\def\\Center\{",ans(),"} "); collect(simplify(k1*x-k1*hdt+tdt)); Resultat:=cat(Resultat,"Phương trình trục $IX$ trong hệ trục $Oxy$ là:", "$$y=",latex(ans()),"$$"); collect(simplify(k2*x-k2*hdt+tdt)); Resultat:=cat(Resultat,"Phương trình trục $IY$ trong hệ trục $Oxy$ là:", "$$y=",latex(ans()),"$$"); vr:=round(simplify(2+hdt+evalf(max(sqrt(abs(A)),sqrt(abs(B))))),2); Resultat:=cat(Resultat,"\\def\\viewright\{",ans(),"} "); vr:=round(simplify(2+hdt+evalf(max(sqrt(abs(A)),sqrt(abs(B))))),2); Resultat:=cat(Resultat,"\\def\\viewright\{",ans(),"} "); simplify(95/100*vr); Resultat:=cat(Resultat,"\\def\\viewx\{",ans(),"} "); simplify(2*hdt-vr); Resultat:=cat(Resultat,"\\def\\viewleft\{",ans(),"} "); Vr:=round(simplify(2+tdt+evalf(max(sqrt(abs(A)),sqrt(abs(B))))),2); Resultat:=cat(Resultat,"\\def\\Viewright\{",ans(),"} "); round(simplify(2*tdt-Vr),2); Resultat:=cat(Resultat,"\\def\\Viewleft\{",ans(),"} "); simplify(975/1000*Vr); Resultat:=cat(Resultat,"\\def\\Viewy\{",ans(),"} "); fprint(Sortie,Unquoted,Resultat); fclose(Sortie); \end{verbatimwrite} \executGiac{test_elip.in} \input{test_elip.out} \psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm} \begin{pspicture*}(\viewleft,\Viewleft)(\viewright,\Viewright) \psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0, linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1, ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(\viewleft,\Viewleft) (\viewright,\Viewright) \rput{\rotate}(\center,\Center){\parametricplot{-0.99}{0.99} {\btl*(1-t^2)/(1+t^2)|\btn*2*t/(1+t^2)}} \rput{\rotate}(\center,\Center){\parametricplot{-0.99}{0.99} {\btl*(-1+t^2)/(1+t^2)|\btn*(-2)*t/(1+t^2)}} \psplot{\viewleft}{\viewright}{(--(\Center-\slope*\center)--\slope*x)/1} \psplot{\viewleft}{\viewright}{(--(\Center-\Slope*\center)--\Slope*x)/1} \rput[tl](\viewx,0.4){$x$} \rput[tl](0.25,\Viewy){$y$} \rput[tr](0.4,-0.25){$O$} \psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](\center,\Center)(\center,0) \psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](\center,\Center)(0,\Center) \end{pspicture*} \end{document}

File pdf gồm 2 trang như ở dưới. Sau đó chúng tôi sẽ giải thích các câu lệnh để các bạn có thể học tập và làm theo.