Công thức xác định tâm tỉ cự.

Cho tam giác $ABC$, ba đoạn $AM, BN, CP$ cắt nhau tại $I$. Ta định vị điểm $I$ bởi các tỉ số $$u=\dfrac{BM}{BC}, v=\dfrac{CN}{CA}$$ Theo định lý Ceva ta sẽ tính được tỉ số $k=\dfrac{AP}{AB}$ (nhưng không tính, vì kết quả phức tạp).

$AI=\dfrac{1-v}{1-v+uv}\sqrt{(1-u)AB^2+uAC^2-u(1-u)BC^2}$
$BI=\dfrac{u}{1-v+uv}\sqrt{(1-v)BC^2+vBA^2-v(1-v)AC^2}$
$CI=\dfrac{1}{1-v+uv}\sqrt{uv(2uv-u-v+1)CA^2+(1-u)(1-v)}$

$\overline{(2uv-u-v+1)CB^2-uv(1-u)(1-v)AB^2}$

Cả ba phân số đều có mẫu là $1-v+uv$ Xem như 3 đỉnh nằm trên một đường tròn, liệt kê $A, B, C$ theo chiều dương. Ví dụ cố định $A$ thì ba cạnh là $\underbrace{AB, AC}_{\text{theo chiều dương} }, BC$. Cố định $B$ thì ba cạnh là $\underbrace{BC, BA}_{\text{theo chiều dương} }, CA$. Tử của $AI$ nằm bên phải $AI$, tử của $BI$ nằm bên phải $BI$. Phần trong căn của $AI$ có ba hệ số $1-u, u, -u(1-u)$ Phần trong căn của $BI$ có ba hệ số $1-v, v, -v(1-v)$ Phần trong căn của $CI$ trước hết ta lấy ba hệ số $uv, (1-u)(1-v), -uv(1-u)(1-v)$, sau đó hai hệ số đầu nhân thêm cho tổng $uv+(1-u)(1-v)$