Cách nhớ công thức tâm tỉ cự

Cho tam giác nhọn $ABC$ có cạnh $BC=5,4 \text{cm}$, trung tuyến $BM=3,8 \text{cm}$ đường cao $AH=2,7 \text{cm}$. Tính $AB, AC\ \text{và}\ OC$.

Ta có: $BC^2+BA^2=2BM^2+\dfrac{AC^2}{2}$ $ ⇔ BA^2=-\dfrac{7}{25}+\dfrac{AC^2}{2}\quad (1)$.

Thay (1) vào (2) ta có phương trình $\sqrt{-\dfrac{7}{25}+\dfrac{x^2}{2}-2,7^2}+\sqrt{x^2-2,7^2}=5,4$
Giải phương trình tìm $AC$: lưu nghiệm vào A.
Khi đó $AB=$ lưu vào B.

 
Lưu các tỉ số $x=\dfrac{BH}{BC}, y=\dfrac{CM}{CA}$ và $z$ vào các biến nhớ x, y, z .
Áp dụng công thức tâm tỉ cự:

$OC=$

Cách nhớ công thức tâm tỉ cự (tính $OA, OB, OC$ theo ba cạnh của tam giác $ABC$).

$\fbox{$AO=\dfrac{1-y}{1-y+xy}\sqrt{(1-x)AB^2+xAC^2-(1-x)xBC^2}$}$
$\fbox{$BO=\dfrac{x}{1-y+xy}\sqrt{(1-y)BC^2+yBA^2-(1-y)yAC^2}$}$
$\fbox{$CO=\dfrac{1}{1-y+xy}\sqrt{xyzCA^2+(1-x)(1-y)zCB^2-xy(1-x)(1-y)AB^2}$}$

1. Tính hai tỉ số $x=\dfrac{BH}{BC}, y=\dfrac{CM}{CA}$ sau đó tính $z=xy+(1-x)(1-y)$. Đặt các tỉ số này vào hình vẽ như hình minh họa.
2. Ba công thức có chung mẫu số $1-y+xy$. Tử của $AO$ ứng với $AM \ (1-y)$, tử của $BO$ ứng với $BH \ (x)$, tử của $CO$ là $1$.
3. Phần trong căn là một tổ hợp tuyến tỉnh của bình phương ba cạnh. Ba cạnh này liệt kê đúng thứ tự và theo chiều dương (ngược chiều kim đồng hồ), ví dụ tính $AO$, đỉnh $A$ thì hai cạnh đầu tiên là $AB$ và $AC$ (đồng hồ tâm $A$ chiều dương từ $B$ qua $C$) cạnh thứ ba là $BC$. Tương tự cho $BO$ và $CO$.
   
   • Thử ghi nhớ hệ số trong công thức tính $AO$. Quan sát thấy $AB$ “ngó” xuống $1-x$, $AC$ “ngó” xuống $x$ và $BC$ hệ số là âm của tích $x(1-x)$.
   • Tương tự cho $BO$.
   • $CO$ khó hơn một chút, $CA$ (chứ không phải $AC$) ngó xuống $xy$, $CB$ (chứ không phải $BC$) ngó xuống $(1-x)(1-y)$, còn hệ số của $AB$ là âm của tích $xy(1-x)(1-y)$. Chưa xong, các thừa số $xy$ và $(1-x)(1-y)$ còn phải nhân thêm $z$.




Bài tập bổ sung. Cho tam giác $ABC$ các kích thước $AB=22, AC=32, BC=28$. Đường phân giác trong $BD$ cắt $AC$ tại $E$. Gọi $K$ là trung điểm $BE$. Tính $AK$ và diện tích tứ giác $CEKM$.






Cách 1: $BE=\dfrac{2BA.BC\cos \dfrac{\widehat{ABC}}{2}}{BA+BC}$, $\widehat{ABC}=\arccos\dfrac{BA^2+BC^2-AC^2}{2BA.BC}$ lưu vào A.

$AE= $ lưu vào B.
Vậy $AK=\sqrt{\dfrac12\left(AB^2+AE^2-\dfrac{AE^2}{2}\right)}$


Cách 2: Dùng công thức tâm tỉ cự. Ta có $x=\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{22}{22+28}=\dfrac{11}{25}$ lưu vào $x$. Đặt $\dfrac{CM}{CA}=y$. Theo công thức tâm tỉ cự ta có: $BK=\dfrac{1-y}{1-y+xy}\sqrt{(1-x)BA^2+xBC^2-x(1-x)AC^2}$ Nhập phương trình lên Bộ giải phương trình và giải phương trình tìm $y$: nghiệm tự động lưu vào y.
Áp dụng công thức tâm tỉ cự cho $AK$: